Calculadora d'Integral Doble

Autor: Henrick Yau
- 21 de juliol de 2026
| |

Calculadores

Calcula integrals dobles sobre regions rectangulars i generals. Aquesta calculadora admet integració simbòlica, aproximació numèrica i visualització d'integrals dobles en coordenades cartesianes i polars.

Definició de la Funció

Utilitza x, y per a les variables. Admesos: +, -, *, /, ^, sin, cos, tan, exp, ln, sqrt

Regió d'Integració

Opcions de Càlcul

Valors més alts = més precisió, càlcul més lent
Nombre de decimals al resultat

Opcions de visualització

Configuració avançada

Només s'utilitza per al mètode de Monte Carlo
Criteri d'aturada per a mètodes iteratius

Teoria d'integrals dobles

Les integrals dobles estenen el concepte d'integrals simples a funcions de dues variables, permetent calcular volums sota superfícies, àrees de regions i diverses magnituds físiques com massa i moments.

Tipus de regions
  • Regió rectangular: Límits simples per a ambdues variables
  • Regió tipus I: y varia entre funcions de x
  • Regió tipus II: x varia entre funcions de y
  • Regions polars: Regions millor descrites en coordenades polars
Mètodes d'integració numèrica
  • Regla de Simpson: Utilitza aproximacions parabòliques, precisió O(h⁴)
  • Regla del Trapezi: Utilitza aproximacions lineals, precisió O(h²)
  • Monte Carlo: Mostreig aleatori, útil per a regions complexes
  • Quadrature Gaussiana: Col·locació òptima de nodes per a funcions polinòmiques
Transformacions de Coordenades
  • Cartesianes a Polars: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ
  • Jacobià: Factor de transformació per al canvi de variables
  • Ordre d'Integració: De vegades canviar l'ordre simplifica el càlcul
Aplicacions
  • Volum: Volum sota una superfície z = f(x,y)
  • Àrea: Àrea d'una regió al pla xy
  • Massa: Massa total quan f(x,y) representa la densitat
  • Centre de Massa: Punt d'equilibri d'una regió o objecte
  • Moments d'Inèrcia: Càlculs d'inèrcia rotacional

Avís: Aquesta calculadora proporciona aproximacions numèriques i càlculs simbòlics amb finalitats educatives. Els resultats poden tenir limitacions computacionals per a funcions altament complexes o valors extrems. Verifiqueu sempre els càlculs crítics utilitzant múltiples mètodes o solucions analítiques quan sigui possible.

∬R f(x, y) dA

Què és la Calculadora d'Integrals Dobles?

La Calculadora d'Integrals Dobles és una eina interactiva per calcular el valor d'integrals dobles sobre regions bidimensionals. Ajuda a avaluar l'acumulació total d'una funció sobre una àrea — ja sigui per representar el volum sota una superfície, la massa total o una altra magnitud física.

Aquesta eina admet tant regions rectangulars com de més complexes, i funciona amb coordenades cartesianes i polars. Podeu triar entre mètodes simbòlics (exactes) i numèrics (aproximats), cosa que la fa adequada per a una àmplia gamma de problemes en càlcul i física.

Com Utilitzar la Calculadora

Seguiu aquests passos per fer un càlcul:

  • Introduïu la Funció: Escriviu una funció de x i y (per exemple, x*y, sin(x)*cos(y)).
  • Seleccioneu el Sistema de Coordenades: Trieu entre coordenades cartesianes o polars segons el plantejament del problema.
  • Trieu el Tipus de Regió: Escolliu entre rectangular, regions de Tipus I/II o formes polars per a més flexibilitat.
  • Definiu els Límits: Establiu els límits d'integració — constants o basats en funcions, segons el tipus de regió.
  • Trieu el Mètode d'Integració: Seleccioneu simbòlic, numèric o ambdós. Per al numèric, podeu triar entre la Regla de Simpson, la Regla del Trapezi, Monte Carlo o la Quadratura Gaussiana.
  • Personalitzeu les Opcions: Ajusteu la mida de la graella, la precisió i la configuració de visualització segons calgui.
  • Feu clic a "Calcular": El resultat inclourà el valor de la integral, gràfics 3D opcionals, visuals de contorn i una anàlisi detallada.

Característiques Principals

  • Admet integració simbòlica i numèrica
  • Gestiona sistemes de coordenades cartesianes i polars
  • Funciona amb regions rectangulars, de Tipus I, Tipus II i polars
  • Ofereix sortides visuals: gràfics de superfície, gràfics de contorn i mapes de regions
  • Inclou mètodes numèrics avançats com Monte Carlo i Quadratura Gaussiana
  • Mostra solucions pas a pas i anàlisi de convergència

Per Què Aquesta Calculadora és Útil

Aquesta eina és ideal per a estudiants, educadors, enginyers i qualsevol persona que treballi amb càlcul multivariable. Permet una avaluació ràpida i clara d'integrals dobles — una tasca sovint necessària per resoldre problemes de física o fer càlculs d'àrea i volum.

Tant si necessiteu calcular el volum sota una superfície, avaluar la massa a partir d'una funció de densitat o visualitzar el comportament d'una funció sobre un domini 2D, aquesta calculadora simplifica el procés i estalvia temps.

Connexions amb Altres Calculadores

Si també treballeu amb temes relacionats, us poden ser útils aquestes eines:

  • Calculadora d'Primitives: Ajuda a trobar primitives i resoldre integrals indefinides fàcilment.
  • Calculadora de Derivades Parcials: Ideal per a la diferenciació multivariable i el càlcul de derivades parcials.
  • Calculadora de Segona Derivada: Útil per a l'anàlisi de derivades de segon ordre i el comportament de corbes.
  • Calculadora de Derivada Direccional: Una eina per avaluar derivades parcials en una direcció o gradients de camps vectorials.
  • Calculadora de Coordenades Polars: Ajuda amb càlculs de r i θ i conversions entre sistemes de coordenades.
  • Calculadora d'Integrals: Eina general per resoldre tant integrals definides com indefinides.

Preguntes Freqüents

Per a què serveix una integral doble?

Les integrals dobles calculen el valor acumulat d'una funció sobre una àrea bidimensional. Les aplicacions habituals inclouen el càlcul del volum sota una superfície, la massa total (si es dona la densitat) o l'àrea de formes irregulars.

Quins tipus de funcions puc introduir?

Podeu utilitzar funcions que impliquin x i y, com polinomis, funcions trigonomètriques, exponencials, logaritmes i arrels. Exemples: x*y, sin(x)*cos(y), e^(x^2 + y^2).

Quin mètode hauria de triar: numèric o simbòlic?

Utilitzeu la integració simbòlica per a respostes exactes (si és possible) i mètodes numèrics quan la integració simbòlica sigui massa complexa o no existeixi. La Regla de Simpson sovint és precisa per a funcions suaus; Monte Carlo és útil per a regions complexes o irregulars.

Puc visualitzar el resultat?

Sí. Podeu activar gràfics de superfície, mapes de contorn i diagrames de regió per entendre visualment la funció i l'àrea d'integració.

Això ajuda amb temes relacionats com derivades parcials o integrals d'una variable?

Sens dubte. La calculadora complementa eines com la Calculadora de Derivades Parcials per a la diferenciació parcial i la Calculadora d'Integrals per resoldre integrals en problemes d'una variable.

Resum

La Calculadora d'Integrals Dobles és una solució útil per a qualsevol persona que necessiti calcular integrals de dues variables de manera eficient. Ofereix resultats precisos, visualitzacions clares i informació educativa que ajuda en l'aprenentatge i la resolució de problemes.