Calculadora d'Interpolació

Autor: Henrick Yau
- 21 de juliol de 2026
| |

Calculadores

Calculate unknown values between known data points using different interpolation methods. This calculator supports linear, polynomial, cubic spline, and nearest neighbor interpolation techniques.

Entrada de dades

Introduïu un parell x,y per línia, separats per comes.
El fitxer ha de contenir parells x,y, un parell per línia.
Vista prèvia del fitxer:
No s'ha seleccionat cap fitxer
Utilitzeu x com a variable. Operadors admesos: +, -, *, /, ^. Funcions: sin(), cos(), tan(), log(), sqrt()

Configuració d'interpolació

Introduïu el valor x on voleu trobar el valor y interpolat.

Opcions de visualització

Nombre de punts a utilitzar en dibuixar la corba d'interpolació.

Opcions avançades

+

Comprendre la interpolació

La interpolació és un mètode per estimar valors desconeguts que es troben entre punts de dades coneguts. S'utilitza àmpliament en enginyeria, ciència, matemàtiques i gràfics per ordinador per construir nous punts de dades dins del rang d'un conjunt discret de punts de dades coneguts.

Mètodes d'interpolació

Aquesta calculadora admet diverses tècniques d'interpolació:

Interpolació lineal

La interpolació lineal connecta punts de dades adjacents amb línies rectes. És el mètode més senzill i assumeix una relació lineal entre punts adjacents.

f(x) = y₁ + (x - x₁) × (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)

on (x₁,y₁) i (x₂,y₂) són els dos punts de dades més propers a x.

Interpolació polinòmica

La interpolació polinòmica ajusta un sol polinomi a tots els punts de dades. Proporciona una corba suau, però pot presentar oscil·lacions (fenomen de Runge) amb polinomis de grau alt.

Utilitza polinomis de Lagrange o diferències dividides de Newton per crear un polinomi de grau n-1 per a n punts de dades.

Interpolació per spline cúbic

La interpolació per splines cúbics ajusta polinomis cúbics a trossos entre punts de dades, garantint la continuïtat en la primera i segona derivada. Això resulta en una corba suau amb oscil·lació mínima.

Crea una sèrie de polinomis cúbics S₁(x), S₂(x), ..., Sₙ₋₁(x) que connecten punts de dades adjacents amb primera i segona derivada contínues.

Interpolació del Veí Més Proper

El veí més proper assigna el valor del punt de dades més proper al punt d'interpolació. És discontinu als punts mitjans entre dades, però senzill d'implementar.

f(x) = y₁ on (x₁,y₁) és el punt de dades amb el mínim |x - x₁|.

Aplicacions de la Interpolació
  • Anàlisi de Dades: Omplir buits en sèries de dades o estimar valors entre mesures.
  • Gràfics per Ordinador: Crear corbes i superfícies suaus a partir de punts discrets.
  • Mètodes Numèrics: Resoldre equacions diferencials, integració numèrica i altres problemes computacionals.
  • Processament de Senyals: Reconstruir senyals contínues a partir de dades mostrejades.
  • Enginyeria: Ajust de corbes, modelatge de fenòmens físics i predicció del comportament de sistemes.
Selecció d'un Mètode d'Interpolació

L'elecció del mètode d'interpolació depèn de diversos factors:

  • Característiques de les Dades: La funció subjacent és suau, oscil·latòria o discontínua?
  • Propietats Desitjades: Necessitat de continuïtat, diferenciabilitat o conservació de certes propietats.
  • Eficiència Computacional: Alguns mètodes són més intensius computacionalment que d'altres.
  • Tolerància a l'Error: Quant d'error és acceptable en els valors interpolats?

Per a dades suaus amb pocs punts, la interpolació polinòmica pot funcionar bé. Per a conjunts de dades grans o amb comportament que canvia ràpidament, poden ser preferibles els splines cúbics o la interpolació lineal.

Avís: Aquesta calculadora proporciona interpolació matemàtica basada en les dades d'entrada i el mètode seleccionat. La precisió dels resultats depèn de la qualitat de les dades d'entrada i de l'adequació de la tècnica d'interpolació escollida per a la vostra aplicació específica.

Què és la Calculadora d'Interpolació?

La Calculadora d'Interpolació és una eina interactiva que t'ajuda a estimar valors entre punts de dades coneguts. Tant si treballes amb gràfics, conjunts de dades o funcions matemàtiques, aquesta calculadora utilitza tècniques d'interpolació per predir valors que es troben dins d'un rang de dades existents.

És útil en diverses àrees, com ara enginyeria, ciència, visualització de dades i educació matemàtica, on estimar valors que falten o crear corbes suaus és essencial.

Fórmula d'Interpolació Lineal:

\[ f(x) = y_1 + (x - x_1) \times \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

Interpolació Polinòmica (Forma de Lagrange):

\[ P(x) = \sum_{i=0}^{n-1} y_i \cdot \ell_i(x) \quad \text{on} \quad \ell_i(x) = \prod_{\substack{j=0 \\ j \neq i}}^{n-1} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} \]

Segment de Spline Cúbic:

\[ S_i(x) = a_i + b_i(x - x_i) + c_i(x - x_i)^2 + d_i(x - x_i)^3 \]

Interpolació del Veí Més Proper:

\[ f(x) = y_i \quad \text{on} \quad x_i \text{ és la x coneguda més propera a } x \]

Com Utilitzar la Calculadora d'Interpolació

Aquesta eina proporciona una manera pas a pas d'introduir dades i obtenir resultats interpolats precisos.

  • Tria el teu Mètode d'Entrada: Introdueix dades manualment, carrega un fitxer o genera punts a partir d'una funció matemàtica.
  • Selecciona el Tipus d'Interpolació: Tria entre lineal, polinòmica, spline cúbic o veí més proper.
  • Estableix el Valor X: Introdueix el valor de x on vols trobar la y corresponent.
  • Ajusta la Configuració (Opcional): Personalitza la precisió decimal, les opcions de visualització i si es permet l'extrapolació.
  • Fes clic a "Calcular Interpolació": Visualitza el valor estimat, el gràfic, la fórmula i anàlisis addicionals.

Característiques Principals

  • Admet múltiples mètodes d'interpolació per a flexibilitat.
  • Funciona amb entrada manual de dades, càrrega de fitxers o funcions matemàtiques.
  • Visualització interactiva del gràfic amb zoom i punts etiquetats.
  • Inclou visualització de la fórmula i anàlisi d'errors per a una comprensió més profunda.
  • Exporta dades a CSV o Excel per a un ús posterior.

Per Què Utilitzar Aquesta Calculadora?

La interpolació és útil sempre que necessitis estimar valors entre punts de dades coneguts. Això inclou:

  • Omplir dades que falten en conjunts de dades o fulls de càlcul.
  • Crear corbes suaus en gràfics o simulacions.
  • Modelitzar i fer prediccions basades en valors coneguts.
  • Ús educatiu per explorar els principis d'interpolació de manera interactiva.

Aquesta calculadora complementa altres eines com un calculador de termes de seqüències, un solucionador de progressions aritmètiques o un calculador de sèries harmòniques, especialment quan necessites trobar valors que es troben entre punts establerts en lloc de calcular seqüències senceres.

Preguntes Freqüents

Puc utilitzar-ho per calcular valors fora del rang de dades?

Sí, activant l'opció "Permetre Extrapolació", la calculadora pot estimar valors fora del rang de dades proporcionat. Tanmateix, els resultats poden ser menys fiables.

Quina diferència hi ha entre els mètodes?

  • Lineal: Simple, ràpid, utilitza línies rectes entre punts.
  • Polinòmica: Corba suau a través de tots els punts, millor per a conjunts de dades petits.
  • Spline Cúbic: Corba suau amb continuïtat en els pendents, millor per a conjunts de dades grans o suaus.
  • Veí Més Proper: Salta al valor del punt més proper, bo per a dades discretes.

Com es compara això amb altres calculadores?

A diferència d'un solucionador de fórmules de seqüències o un generador de nombres de Fibonacci que calculen patrons predefinits, la Calculadora d'Interpolació se centra a estimar valors desconeguts a partir de dades personalitzades. És una eina valuosa juntament amb un eina de seqüències numèriques o un ajudant de fórmules de progressions.

És útil per a la suma de sèries?

Tot i que no calcula sumes de sèries com un eina de suma de sèries o un solucionador de sèries aritmètiques, ajuda a estimar valors individuals, que poden formar part de la teva anàlisi més àmplia.

Conclusió

Aquesta Calculadora d'Interpolació és un assistent útil per a qualsevol persona que treballi amb dades, corbes o estimacions matemàtiques. Tant si estàs omplint buits, visualitzant tendències o ensenyant conceptes, fa que la interpolació sigui intuïtiva i accessible.