Calculadora d'Espai Nul

Autor: Henrick Yau
- 1 de octubre de 2026
| |

Calculadores

Calculate the null space (kernel) of a matrix. This calculator finds the basis vectors that span the null space and performs related calculations including rank, nullity, and row reduction.

Matrix Input

Enter Matrix Values:

Display Options

About Null Space

The null space (or kernel) of a matrix is a fundamental concept in linear algebra. It represents the set of all vectors that, when multiplied by the matrix, yield the zero vector. Understanding the null space helps solve homogeneous systems of linear equations and provides insights into the structure of linear transformations.

How to Find the Null Space

To find a basis for the null space of matrix A:

  1. Convert the matrix to reduced row echelon form (RREF)
  2. Identify free variables (columns without leading 1's)
  3. Expressa les variables bàsiques en termes de les variables lliures
  4. Escriu la solució general com una combinació lineal de vectors
  5. Extreu els vectors de coeficients per formar una base per a l'espai nul
Aplicacions

L'espai nul té aplicacions importants en:

  • Resolució de sistemes homogenis d'equacions lineals
  • Determinació si una transformació lineal és injectiva
  • Trobada de la solució general a sistemes no homogenis
  • Anàlisi d'equacions diferencials i xarxes de circuits
  • Càlcul d'espais propis en teoria espectral
  • Processament d'imatges i senyals (en trobar informació essencial)

Què és l'espai nul d'una matriu

La Calculadora d'Espai Nul és una eina interactiva en línia que t'ajuda a trobar l'espai nul d'una matriu. L'espai nul, també conegut com el nucli, és el conjunt de totes les solucions \( \mathbf{x} \) de l'equació \( A\mathbf{x} = \mathbf{0} \), on \( A \) és una matriu i \( \mathbf{0} \) és el vector zero.

Fórmula:

\[ \text{Ker}(A) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : A\mathbf{x} = \mathbf{0} \} \]

Què Pot Fer Aquesta Calculadora

  • Troba una base per a l'espai nul (nucli) d'una matriu
  • Calcula el rang i la nul·litat de la matriu
  • Mostra tant la Forma Esglaonada per Files (REF) com la Forma Esglaonada Reduïda per Files (RREF)
  • Mostra els càlculs pas a pas (opcional)
  • Accepta entrades de matriu personalitzades o permet utilitzar una matriu d'exemple

Com trobar l'espai nul pas a pas

  1. Defineix el nombre de files i columnes de la teva matriu.
  2. Introdueix els valors als camps de la matriu.
  3. Opcional: Utilitza la matriu d'exemple per a una demostració ràpida.
  4. Tria les preferències de visualització: decimals o fraccions, quants decimals i si vols mostrar els passos.
  5. Fes clic al botó Calcula.
  6. Visualitza els resultats, incloent els vectors base, el rang, la nul·litat, la REF, la RREF i més.

Per Què és Important l'Espai Nul

Entendre l'espai nul d'una matriu és fonamental per treballar amb equacions lineals. T'ajuda a:

  • Resoldre sistemes homogenis d'equacions lineals
  • Entendre si una transformació matricial és injectiva
  • Trobar la solució general d'equacions matricials
  • Analitzar la independència lineal i els espais vectorials

Aplicacions en Àlgebra Lineal

L'espai nul no és només un concepte acadèmic — s'utilitza en molts càlculs i camps avançats:

  • Sistemes lineals: sovint s'utilitza amb la Calculadora d'Eliminació de Gauss-Jordan
  • Transformacions: relacionat amb eines com la Calculadora de Diagonalització de Matrius i la Calculadora de Factorització QR
  • Operacions matricials: complementa eines com la Calculadora d'Inversa de Matrius, la Calculadora de Multiplicació de Matrius i la Calculadora de Resta de Matrius
  • Processament de senyals i imatges, sistemes de control, anàlisi de dades

Conceptes Clau i Relacions

  • Rang: Nombre de columnes pivot a la matriu (files no nul·les a la RREF)
  • Nul·litat: Dimensió de l'espai nul (nombre de variables lliures)
  • Teorema del Rang-Nul·litat:

\[ \text{Rang}(A) + \text{Nul·litat}(A) = \text{Nombre de columnes de } A \]

Preguntes sobre el càlcul del nucli

Què és una base per a l'espai nul?

Una base és un conjunt de vectors que generen l'espai nul. Tota solució de \( A\mathbf{x} = \mathbf{0} \) es pot escriure com una combinació lineal d'aquests vectors.

Què passa si l'espai nul és trivial?

Si l'única solució de \( A\mathbf{x} = \mathbf{0} \) és el vector zero, es diu que l'espai nul és trivial. Això significa que la matriu té rang complet.

Això està relacionat amb trobar la inversa d'una matriu?

Sí. Si una matriu quadrada té un espai nul trivial, significa que és invertible. Pots utilitzar la Calculadora d'Inversa de Matrius per explorar-ho més a fons.

Què són les variables pivot i lliures?

Les variables pivot corresponen a columnes amb uns principals a la RREF. Les variables lliures són aquelles que poden prendre qualsevol valor — defineixen les direccions de l'espai nul.

Puc utilitzar-ho per a matrius no quadrades?

Absolutament. Aquesta eina funciona per a qualsevol matriu m × n on m i n van d'1 a 10.

Explora Altres Eines Matricials

Aquesta calculadora forma part d'un conjunt més ampli d'eines d'àlgebra lineal. Prova aquestes a continuació:

  • Calculadora de Descomposició LU — Descompon una matriu mitjançant la factorització LU
  • Calculadora d'Exponencial de Matrius — Calcula l'exponencial d'una matriu
  • Calculadora de Suma de Vectors — Suma vectors de manera ràpida i precisa
  • Calculadora de Transposició de Matrius — Intercanvia files i columnes de la teva matriu
  • Calculadora de Pseudoinversa — Troba la pseudoinversa de Moore-Penrose

Per què serveix aquesta eina

La Calculadora d'Espai Nul facilita la comprensió i exploració de propietats fonamentals de les matrius. Tant si estudies per a un examen com si resols problemes reals en enginyeria o ciència, aquesta eina t'ajuda a desglossar els passos i visualitzar els resultats amb claredat. Prova-la juntament amb altres solucionadors matricials com la Calculadora de Divisió de Matrius o la Calculadora de Factorització QR per ampliar el teu conjunt d'eines.