Calculadora SVD

Autor: Henrick Yau
- 4 de octubre de 2026
| |

Calculadores

Calcula la Descomposició en Valors Singulars (SVD) d'una matriu. La SVD descompon una matriu en tres components: U, Σ i V*. Aquesta descomposició té nombroses aplicacions en estadística, processament de senyals, compressió d'imatges i més.

Entrada de la matriu

Opcions de visualització

Sobre la descomposició en valors singulars

La descomposició en valors singulars (SVD) és una tècnica de factorització que descompon una matriu A en tres matrius: U, Σ i V*. Té àmplies aplicacions en ciència de dades, processament de senyals i àlgebra lineal.

Definició matemàtica

Per a una matriu A de m×n, la SVD és:

A = UΣV*

on:

  • U és una matriu ortogonal de m×m (U*U = I)
  • Σ és una matriu diagonal de m×n amb valors singulars no negatius
  • V* és la transposada conjugada d'una matriu ortogonal V de n×n (V*V = I)
Aplicacions de la SVD
  • Reducció de dimensionalitat: Anàlisi de components principals (PCA)
  • Compressió d'imatges: Reduir l'emmagatzematge tot mantenint la qualitat de la imatge
  • Anàlisi de dades: Reducció de soroll i extracció de característiques
  • Sistemes de recomanació: Filtratge col·laboratiu per a recomanacions
  • Càlcul de pseudoinversa: Resolució de sistemes mal condicionats
  • Processament de senyals: Filtratge i eliminació de soroll
Propietats de la SVD
  • Els valors singulars són únics i s'ordenen de manera descendent
  • El nombre de valors singulars no nuls és igual al rang de la matriu
  • El nombre de condició és la relació entre el valor singular més gran i el més petit
  • La SVD es pot utilitzar per calcular la pseudoinversa mitjançant A⁺ = VΣ⁺U*
  • La SVD és numèricament estable per al càlcul

Fórmula de la Descomposició en Valors Singulars:

A = UΣV*

On:

  • U = matriu de vectors singulars esquerres
  • Σ = matriu diagonal de valors singulars
  • V* = transposada de la matriu de vectors singulars drets

Què és la descomposició SVD?

La Calculadora de Descomposició en Valors Singulars (SVD) és una eina web que descompon qualsevol matriu en tres components fonamentals: U, Σ (Sigma) i V*. Aquest procés s'utilitza àmpliament en àlgebra lineal per a aplicacions com la compressió de dades, el filtratge de senyals i la resolució de sistemes d'equacions.

Amb la Calculadora SVD, pots analitzar ràpidament l'estructura d'una matriu, entendre les seves propietats dimensionals i calcular valors clau com el nombre de condició, el rang i la pseudoinversa.

Beneficis de descompondre la matriu

Aquesta eina t'ajuda a:

  • Descompondre una matriu en U, Σ i V* per a una anàlisi més profunda
  • Entendre el comportament de la teva matriu a través dels seus valors singulars
  • Explorar propietats com el rang de la matriu, el nombre de condició i la norma de Frobenius
  • Verificar la precisió de la descomposició
  • Calcular la pseudoinversa de Moore-Penrose a l'instant

Si treballes amb dades d'imatge, estadística o resols sistemes lineals, aquesta calculadora et proporciona la descomposició que necessites. Complementa altres eines com la Calculadora de Descomposició LU, la Calculadora de Pseudoinversa i la Calculadora d'Inversa de Matriu centrant-se específicament en l'anàlisi de valors singulars.

Com introduir la matriu i calcular l'SVD

Segueix aquests senzills passos:

  1. Selecciona el nombre de files i columnes per a la teva matriu.
  2. Fes clic a "Crear Matriu" per generar els camps d'entrada.
  3. Introdueix els valors de la matriu als camps.
  4. Tria opcions de visualització com la precisió decimal i si vols mostrar explicacions pas a pas.
  5. Fes clic a "Calcular SVD" per processar la matriu.
  6. Revisa les matrius resultants U, Σ i V*, així com els valors derivats com la pseudoinversa i el nombre de condició.

També pots carregar una matriu d'exemple fent clic al botó "Carregar Exemple" per veure com funciona a l'instant.

Beneficis d'Utilitzar SVD

L'SVD s'utilitza en molts camps i té beneficis pràctics:

  • Compressió de Dades: Redueix la mida de les dades sense perdre característiques essencials
  • Reducció de Soroll: Elimina components menors en senyals o conjunts de dades
  • Aprenentatge Automàtic: Millora el rendiment dels algorismes mitjançant la reducció de dimensionalitat
  • Solucions de Matrius: Calcula la pseudoinversa quan no existeix una inversa normal
  • Processament d'Imatges: Comprimeix i reconstrueix imatges de manera eficient

Aquesta eina és especialment útil quan es combina amb eines matricials com la Calculadora de Factorització QR, la Calculadora d'Eliminació de Gauss-Jordan i la Calculadora de Diagonalització de Matrius.

Preguntes sobre la mida i l'explicació de l'SVD

  • Quina mida de matriu puc introduir?
    Pots introduir matrius d'1×1 fins a 10×10.
  • Què passa si la meva matriu té valors molt petits?
    La calculadora ressalta els valors propers a zero per ajudar-te a centrar-te en els resultats significatius.
  • Puc veure com es calcula l'SVD?
    Sí! Activa l'opció "Mostrar explicació" per veure una descomposició pas a pas del procés.
  • Aquesta eina és útil per aprendre?
    Definitivament. La descomposició visual i els passos de càlcul la converteixen en una gran ajuda per a estudiants i educadors.
  • En què es diferencia d'altres eines matricials?
    Mentre que la Calculadora d'Inversa de Matriu i la factorització LU se centren en solucions directes a sistemes lineals, l'SVD ofereix més informació sobre l'estructura i l'estabilitat de la matriu.

Eines relacionades amb l'SVD