Calculadora d'Equació d'un Cercle

Autor: Henrick Yau
- 10 de novembre de 2026
| |

Calculadores

Calcula l'equació d'una circumferència en forma estàndard, general o paramètrica. Troba el centre, el radi, la circumferència, l'àrea i resol diversos problemes de geometria de la circumferència, incloent rectes tangents, interseccions i transformacions.

Mètode d'entrada

Centre i radi

Càlculs addicionals

Opcions de visualització

Equacions i propietats del cercle

Un cercle és el conjunt de tots els punts d'un pla que equidisten d'un punt fix anomenat centre. La distància del centre a qualsevol punt del cercle s'anomena radi.

Equació en forma estàndard

La forma estàndard d'un cercle amb centre (h, k) i radi r és:

(x - h)² + (y - k)² = r²
  • Centre: (h, k) - el punt fix al centre del cercle
  • Radi: r - la distància del centre a qualsevol punt del cercle
  • Cas especial: Quan el centre és a l'origen (0, 0): x² + y² = r²
Equació en forma general

La forma general de l'equació d'un cercle és:

x² + y² + Dx + Ey + F = 0
  • Centre: (-D/2, -E/2)
  • Radi: √[(D/2)² + (E/2)² - F]
  • Condició: (D/2)² + (E/2)² - F > 0 per a un cercle real
Forma paramètrica

Un cercle també es pot expressar paramètricament:

x = h + r cos(t), y = k + r sin(t)

On t és el paràmetre (normalment 0 ≤ t ≤ 2π)

Trobar equacions del cercle
  • Donats el centre i el radi: Substitució directa a la forma estàndard
  • Donats tres punts: Resoldre sistema d'equacions o usar el mètode del determinant
  • Donats els extrems d'un diàmetre: El centre és el punt mitjà, el radi és la meitat de la distància
  • Donats el centre i un punt del cercle: El radi és la distància del centre al punt
Propietats del cercle
  • Circumferència: C = 2πr
  • Àrea: A = πr²
  • Diàmetre: d = 2r
  • Longitud d'arc: s = rθ (on θ està en radians)
  • Àrea del sector: A = ½r²θ
Rectes tangents
  • Des d'un punt extern: Existeixen dues rectes tangents
  • Longitud de la tangent: √[(x₁-h)² + (y₁-k)² - r²]
  • Tangent en un punt del cercle: Perpendicular al radi en aquell punt
  • Equació de la tangent a (x₁, y₁): (x₁-h)(x-h) + (y₁-k)(y-k) = r²
Interseccions cercle-recta
  • Dues interseccions: La recta és secant al cercle
  • Una intersecció: La recta és tangent al cercle
  • Cap intersecció: La recta no toca el cercle
  • Distància del centre a la recta: Determina el nombre d'interseccions
Aplicacions comunes
  • Sistemes GPS i navegació (rangs circulars)
  • Enginyeria i arquitectura (estructures circulars)
  • Física (mecànica orbital, propagació d'ones)
  • Gràfics per ordinador i desenvolupament de videojocs
  • Problemes d'optimització (distàncies màximes/mínimes)

Avís: Aquesta calculadora proporciona solucions matemàtiques per a equacions de cercles i problemes geomètrics relacionats. Els resultats es calculen mitjançant fórmules estàndard de geometria analítica. Per a aplicacions complexes o fins d'enginyeria, verifiqueu els resultats amb una anàlisi professional adequada. La calculadora assumeix geometria euclidiana i pot no tenir en compte consideracions especials de sistemes de coordenades.

Què fa aquesta calculadora de cercles?

La Calculadora d'Equació d'un Cercle és una eina visual i interactiva que t'ajuda a entendre i resoldre problemes relacionats amb la geometria del cercle. Tant si ets estudiant, professor o un aprenent curiós, aquesta eina simplifica el procés de treballar amb cercles fent els càlculs per tu.

Forma estàndard: (x - h)² + (y - k)² = r²
Forma general: x² + y² + Dx + Ey + F = 0
Forma paramètrica: x = h + r cos(t), y = k + r sin(t)

Com definir un cercle i obtenir la seva equació

Comença seleccionant com vols definir el cercle. La calculadora admet múltiples opcions d'entrada:

  • Centre i Radi: Introdueix les coordenades del centre i la longitud del radi.
  • Tres Punts del Cercle: Introdueix tres punts que estiguin a la vora del cercle.
  • Extrems del Diàmetre: Proporciona els dos extrems del diàmetre.
  • Centre i Punt del Cercle: Defineix el centre i un altre punt per determinar el radi.
  • Equació en Forma General: Introdueix directament els valors de D, E i F.
  • Equació en Forma Estàndard: Introdueix els valors del centre (h, k) i el radi al quadrat.

Un cop hagis omplert els camps necessaris, fes clic a "Calcular Equació del Cercle". L'eina et mostrarà immediatament:

  • El centre i el radi del cercle
  • Equacions en forma estàndard, general i paramètrica
  • Àrea, circumferència i diàmetre
  • Opcionalment: rectes tangents, interseccions i solucions pas a pas

Per què és útil per a geometria de cercles

Aquesta calculadora ofereix retroalimentació instantània sobre les propietats del cercle, cosa que la converteix en un excel·lent recurs d'aprenentatge i ensenyament. També pot ajudar a resoldre problemes i a verificar deures o preguntes d'exàmens. Està dissenyada per a usuaris generals i admet conceptes de geometria tant bàsics com avançats.

Entrades múltiples i gràfics interactius

  • Admet múltiples mètodes d'entrada
  • Gràfics visuals instantanis amb opcions interactives
  • Gestiona rectes tangents i interseccions línia-cercle
    • <>Mostra totes les formes de l'equació del cercle
  • Inclou explicacions i desglossaments dels passos

Preguntes sobre l'equació del cercle

Puc introduir un cercle utilitzant només un punt?

Sí, si coneixes el centre i un punt del cercle, l'eina calcularà el radi i dibuixarà l'equació completa.

Aquesta calculadora mostra com convertir entre la forma estàndard i la general?

Sí. Inclou passos de transformació que mostren com reescriure equacions en diferents formats.

Què passa si els meus tres punts estan en línia recta?

Si els tres punts són col·lineals, la calculadora t'avisarà. Tres punts han de formar un cercle vàlid.

Aquesta calculadora és només per a ús acadèmic?

No. També pot ajudar en tasques d'enginyeria, disseny i càlculs basats en geometria en situacions quotidianes.

Puc explorar eines similars?

Sí! Si treballes amb altres formes o problemes relacionats amb triangles, explora aquestes eines útils:

  • Calculadora de Triangles per trobar costats i angles de triangles
  • Calculadora del Teorema de Pitàgores per resoldre dimensions de triangles rectangles
  • Calculadora de Distància per mesurar la distància entre punts
  • Calculadora d'Àrea i Calculadora de Volum per a càlculs de superfície i espai 3D
  • Calculadora de Teoremes del Cercle per explorar teoremes i geometria del cercle

Eina per aprendre i resoldre equacions de cercles

La Calculadora d'Equació d'un Cercle fa que aprendre i treballar amb equacions de cercles sigui més fàcil i intuïtiu. Amb guia pas a pas, sortides visuals i fórmules completes, dona suport tant a estudiants, professors com a professionals. Tant si l'utilitzes com a solucionador de geometria del cercle o com a part de tasques de geometria més àmplies, és un recurs útil al teu kit d'eines matemàtiques.