Calculadora de Divergència

Autor: Henrick Yau
- 5 de novembre de 2026
| |

Calculadores

Calcula la divergència d'un camp vectorial. La divergència mesura la taxa a la qual la "densitat" surt d'una regió donada de l'espai i és un concepte clau en càlcul vectorial.

div F = ∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z

Entrada del camp vectorial

Opcions de visualització

Sobre la Divergència

La divergència és una magnitud escalar que mesura la tendència d'un camp vectorial a "fluir" lluny o cap a un punt. Es denota per ∇·F (del punt F) o div F.

Definició Matemàtica:

Per a un camp vectorial F = (F₁, F₂, F₃) en coordenades cartesianes 3D, la divergència es defineix com:

div F = ∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z
Interpretació Física:

La divergència mesura el flux net d'un camp fora d'un petit volum al voltant d'un punt. En un punt donat:

  • Divergència positiva: El camp flueix cap a fora (font)
  • Divergència negativa: El camp flueix cap a dins (pou)
  • Divergència zero: El camp no té flux net de sortida o entrada (incompressible)
Divergència en Diferents Sistemes de Coordenades:

Coordenades Cartesianes (x, y, z):

∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z

Coordenades Cilíndriques (r, θ, z):

∇·F = (1/r) · ∂(r·Fr)/∂r + (1/r) · ∂Fθ/∂θ + ∂Fz/∂z

Coordenades Esfèriques (ρ, θ, φ):

∇·F = (1/ρ²) · ∂(ρ²·Fρ)/∂ρ + (1/(ρ·sin(φ))) · ∂(sin(φ)·Fθ)/∂θ + (1/(ρ·sin(φ))) · ∂Fφ/∂φ
Aplicacions:
  • Electromagnetisme: La llei de Gauss relaciona la divergència del camp elèctric amb la densitat de càrrega
  • Dinàmica de Fluids: La divergència del camp de velocitats indica la compressibilitat dels fluids
  • Transferència de Calor: La divergència del flux de calor descriu fonts o pous de calor
  • Mecànica Quàntica: La divergència de la densitat de corrent es relaciona amb la conservació de la càrrega

Què és la divergència d'un camp vectorial?

La Calculadora de Divergència és una eina interactiva que t'ajuda a calcular la divergència d'un camp vectorial en espai 2D o 3D. La divergència és un concepte del càlcul vectorial que indica quant s'expandeix o convergeix un camp vectorial en un punt donat. Aquesta eina admet sistemes de coordenades cartesianes, cilíndriques i esfèriques.

És especialment útil per a estudiants, enginyers i qualsevol persona que treballi amb camps físics com el flux de fluids, l'electromagnetisme o la termodinàmica.

Fórmula de la Divergència en Coordenades Cartesianes:
div F = ∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z

Dimensions, coordenades i opcions de càlcul

  • Admet camps vectorials en 2D i 3D
  • Tria entre coordenades cartesianes, cilíndriques i esfèriques
  • Opció per avaluar la divergència en un punt específic
  • Desglossament pas a pas de les derivades parcials
  • Opció per simplificar resultats i controlar la precisió decimal

Passos per calcular la divergència

  1. Selecciona el nombre de dimensions (2D o 3D).
  2. Tria el sistema de coordenades que s'adapti al teu problema.
  3. Introdueix les components del camp vectorial (p. ex., F₁, F₂, F₃).
  4. Opcionalment, tria avaluar en un punt específic activant "Avaluar en un punt".
  5. Ajusta la configuració de visualització, com els decimals o les unitats d'angle, si cal.
  6. Fes clic a Calcular Divergència per veure els resultats i els passos de la solució opcionals.

Per què serveix calcular la divergència?

Entendre la divergència ajuda a interpretar com es comporta un camp a l'espai. Aquesta eina et permet:

  • Calcular la divergència de manera visual i precisa
  • Explorar el comportament del camp en física, enginyeria i matemàtiques
  • Practicar la diferenciació multivariable i els passos de derivades parcials
  • Verificar el treball fet a mà o durant sessions de resolució de problemes

És especialment útil quan es combina amb eines com la Calculadora de Derivades Parcials, la Calculadora de Derivada Direccional o la Calculadora de Rotacional, sobretot per aprendre càlcul multivariable.

Calculadores relacionades: derivades i rotacional

Aquesta calculadora forma part d'una família de solucionadors matemàtics que inclou:

  • Calculadora de Derivades Parcials – calcula derivades parcials pas a pas
  • Calculadora de Derivada Direccional – analitza els canvis del camp vectorial en una direcció específica
  • Calculadora de Segona Derivada – avalua canvis de segon ordre per a una anàlisi més profunda
  • Calculadora de Rotacional – calcula el rotacional de camps vectorials per examinar el comportament rotacional

Preguntes sobre la divergència i el seu càlcul

Què és la divergència?
La divergència mesura quant s'expandeix (divergència positiva) o convergeix (divergència negativa) un camp vectorial en un punt.

Aquesta eina pot avaluar derivades parcials?
Sí. Aquesta calculadora realitza diferenciació multivariable internament, calculant les derivades parcials de cada component del camp vectorial.

Quina diferència hi ha entre les coordenades cartesianes, cilíndriques i esfèriques?
Són maneres diferents de descriure posicions a l'espai. Les cartesianes utilitzen (x, y, z), les cilíndriques (r, θ, z) i les esfèriques (ρ, θ, φ). Tria la que millor s'adapti al teu camp o problema.

He d'introduir números o funcions?
Pots introduir expressions com x*y*z, sin(θ) o r*cos(θ). La calculadora gestiona matemàtiques simbòliques i també pot avaluar valors en punts específics si es demana.

Funciona per a camps 2D?
Sí. Simplement tria 2D i la interfície s'ajustarà en conseqüència. La tercera component s'elimina.

Puc aprendre dels passos?
Totalment. Si s'activa "Mostrar passos de la solució", l'eina desglossa com es calculen les derivades parcials i com es combinen per formar l'expressió final de la divergència.